主要內容：

本文透過解析幾何、二次函式法和導數知識，介紹求圓心在原點上與直線3x+4y-1=0相切的圓方程的主要過程和步驟。

思路:解析幾何

圓與直線相切，則圓心到直線的距離為所求圓的半徑。

設圓方程為x^2+y^2=r^2，圓心O為（0，0）

圓心到直線的距離d為：

d=|3*0+4*0-1|/√（3^2+4^2）=1/5=r，

則所求圓的方程為：x^2+y^2=（1/5）^2=1/25。

思路：二次函式法

圓與直線聯立的方程只有1個交點，即判別式為0。

設圓方程為x^2+y^2=r^2，

將y=（1-3x）/4代入圓的方程得：

x^2+（1-3x）^2/4^2=r^2

16x^2+（1-3x）^2=4^2r^2

（3^2+4^2）x^2-6x+1^2-4^2r^2=0

判別式△=4*3^2-4*5^2*（1^2-4^2r^2）=0，

解出r^2=1^2/5^2=1/25，

所以圓的方程為：

x^2+y^2=1/25。

思路:導數幾何意義

導數的幾何意義就是曲線上點的切線的斜率。

設圓方程為x^2+y^2=r^2，圓心O為（0，0），切點為A（x1，y1）。

對圓方程求導得：

2x+2yy‘=0，即y’=-x/y。

對於切線有：y=-13/4*（3x-1），其斜率k=-3/4。

根據導數的幾何意義有：-3/4=-x1/y1，

即：x1=3/4*y1，代入切線方程得：

9/4*y1+4y1-1=0，可求出：

y1=4/（3^2+4^2）=4/25，

x1=3/（3^2+4^2）=3/25，

切線在圓上，則：

（4/25）^2+（3/25）^2=r^2，

即：r^2=1/25。

所以所求圓的方程為：

x^2+y^2=1/25。