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引言

我們使用一個不完全恰當的比喻來描述理論物理：它就像正在上演的一部大戲。戲劇最重要的成分有3個：舞臺、演員和劇本。對理論物理而言也是如此：大舞臺就是我們的宇宙；世間萬物，或者說構成萬物的基本元素，是舞臺上形形色色的各種“角色”，即演員；而萬物遵循的物理規律便是“劇本”。

在弦論之前的物理學中，無論是牛頓還是愛因斯坦，大多數理論的舞臺就是我們眾所周知的三維空間，再加上時間，被稱為“4維時空”。例如，曾經介紹過的標準模型，便是61種“基本粒子”在“4維時空”中遵循量子規律的情況下上演的一部大戲。這些基本粒子包括傳遞相互作用的玻色子，和構成物質的費米子。所有基本粒子都被認為是沒有結構和大小的“點”狀粒子。

圖1：弦論的空間與眾不同

如圖1所示，左圖中各粒子在四維空間的舞臺上各施拳腳，但到了右側弦理論的舞臺，“三要素”雖然不變，但它們的內容改變了。

舞臺

從4維變成了超弦理論的10維，或者M理論的11維；

角色

從（0維）點粒子變成了（1維）的“弦”（或者可以推廣到2維膜、3維等等）；“

劇本

”，即萬物遵循的規律，在弦論中也有所不同。以後各篇將陸續介紹這些不同點，本篇僅涉及第一個要素：弦論的舞臺，即弦論中與時空和維度有關的概念。

撰文 | 張天蓉

責編 | 寧    茜、呂浩然

01

10維空間中的弦

眾所周知，我們生活的空間是3維的，也就是通常所說的“前後（Y軸）、左右（X軸）、上下（Z軸）”3個不同的方向。如果再加上時間這一維度的話，也可以說，我們的世界是一個4維時空（3維空間+1維時間）。用更為通俗直觀的話來說，就是任何發生的事件，需要用4個數值來表示。

例如，有新聞報道說“北京時間2021年1月15日20時32分在（北緯38。43度、東經97。35度、深度9千米）處發生地震。”這兒的“北緯、東經、深度、時間”4個數值，便標誌了地震發生的一個4維時空點。

僅就數學意義而言，維度是可以擴充套件的，多幾個維度不過就是多幾個描述事件的數值而已。例如上文所指地震發生的事件，除了“北緯、東經、深度、時間”4個“時空點”數值之外，還可以加上“震級”“烈度”“死亡數”等其它引數來描述，這就相當於擴充套件了事件的維度數。

然而，在超弦論中，並非簡單地增加維度，而是認為宇宙的“時空”就是10維的。也就是說，除了1維時間之外，超弦理論認為我們生活的空間是9維的。這是怎麼一回事？應該到哪兒去尋找這些多出來的、我們感覺不到的6個空間維度呢？弦論學家們對此的解釋是：因為那幾個額外的維度被“捲縮”起來並且“隱藏”在了一個非常小的尺度中。或者用專業術語來描述：這些額外維度形成的空間被“緊緻化”了。

那麼，我們首先梳理一下物理理論中的不同“尺度”。

02

普朗克尺度

普朗克尺度（Planck scale）被認為是現代物理中的最小尺度，包括“普朗克尺度”（The Planck length）和 “普朗克時間”（Planck time）。它們標誌著現代物理學認為可能測量的最小極限長度和極限時間。它們的數值是：

凡是冠以“普朗克”的物理量，大多數都與量子現象有關。從上面兩個公式也可知，普朗克尺度lp和時間tp，均與標誌微觀量子物理的普朗克常數h（也計作ћ）相關。因此，它們是非常小的數值。到底有多小呢？圖2中列出了構成物質的基本單元之尺度大小的比較。例如，從圖中顯示的資料可知，普朗克尺度（大約10-33cm）比原子的平均尺度（約10-8cm）還要小上25個數量級。

圖2中標出了原子、質子、電子以及普朗克尺度大約的數量級。由圖中可見：弦論中的“弦”，以及空間多餘的維度，都捲曲在不可觀測的普朗克尺度以下。在如此小的尺度下，通常的物理定律包括現有的量子力學及粒子物理標準模型等，都已經完全失效。引力開始展現量子效應，甚至我們傳統上對時間、空間的概念也可能會全盤瓦解。

圖2：各種尺度大小比較的示意圖

實際上，我們並不清楚小於普朗克尺度範圍內的物理規律，因為根據量子力學的不確定性原理，我們無法使用現有的技術，在那麼小的尺度做出任何準確測量。

換言之，對小於普朗克尺度範圍內物理系統的情況和狀態，實驗和測量無能為力，科學家們只能發揮及大的想象力來進行大膽的假設和猜測。儘管這樣的假設和猜測無法在普朗克尺度範圍之內被直接觀察和驗證，但卻可以以此建立適應更大外圍空間（普朗克尺度之外）的物理理論。這些理論有可能解決現有理論尚未解決的問題，並且可以間接地被實驗證實或證偽。

例如，理論物理的兩大支柱：量子和引力，似乎水火不相容。沒有現有的理論能將它們很好地統一起來。弦論便是如此應運而生的一種理論，而以上所描述的“捲縮隱藏的維度”，便是弦論學家們所作的基本假設和猜測之一。這也就是為什麼即使無法用實驗驗證，物理學家們仍然孜孜不倦地努力研究弦論，因為他們期待用這個深層模型，克服標準模型和其它量子理論的困難，解決這些物理理論不能解決的問題，將萬物統一到一個單一的理論框架中。事實上，這個目標已經完成了一部分，弦論是迄今為止最有希望統一所有相互作用和粒子的物理理論。

03

彎曲的時空

在日常生活中，我們只能感受到3維空間和1維時間，卻從未觀察到多餘的“額外維度”。那是因為如剛才說到的，額外的空間維度捲縮隱藏在極小的尺度中。或者用數學的語言說，這些空間是“緊緻化”的。

圖3：隱藏著的額外1維空間（圓）

空間既然能“捲縮”，必然是彎曲的，如圖3中隱藏著的1維圓圈。那麼，首先我們要明白什麼叫“彎曲的時空”。這需要從愛因斯坦的廣義相對論講起。

廣義相對論認為，我們生活的4維時空也是彎曲的，只要有物質存在，時空就會彎曲（圖4）。

圖4：物質使時空彎曲

因此，從廣義相對論的角度看，本文開頭將物質和空間分別比喻為“演員和舞臺”兩種獨立實體是不太恰當的。宇宙的實際情況是：物質和時空不可分割、互相影響。物質使得時空彎曲，時空決定了物質的運動。不過，4維時空的彎曲程度比起弦論中額外維度的彎曲，要小得多。所以，在介紹弦論的這幾篇文章中，我們可以暫且將我們生活的、並能感受到的4維時空看成平直的，僅僅只考慮極度“彎曲和緊緻”的額外6個極小維度。

04

歷史：5維時空統一模型

在物理學中引進額外的、緊緻的空間維度，並非從弦論開始，早在1921年就有人試驗過了。

愛因斯坦的廣義相對論將引力場幾何化後，一位德國數學家西奧多·卡魯扎（Theodor Franz Eduard Kaluza，1885-1954）曾企圖將電磁作用也幾何化，在4維時空的基礎上加上了額外的第五維，以此來容納與電磁場有關的變數，達到電磁和引力的統一。

根據卡魯扎的想法，可以將廣義相對論使用的4維時空上，加上一個額外的空間維，這一維代表電磁場，應該與電荷q或電磁勢A有關係，其中還包括了一個額外的標量場f，這個標量場所對應的粒子被卡魯扎稱之為“radion（放射微粒）”，見圖5。

圖5：卡魯扎-克萊因五維時空理論

根據這個五維時空的構想，卡魯扎可以得到好幾組方程式，其中包括等價於愛因斯坦場方程的一組、等價於麥克斯韋方程組的一組，以及關於標量場f的方程。後來，瑞典物理學家奧斯卡·克萊因（Oskar Benjamin Klein，1894-1977）又將此理論納入量子力學，由此建立了卡魯扎-克萊因理論（Kaluza–Klein theory）。

如何解釋理論中的第五維這個額外維度？卡魯扎和克萊因認為，我們之所以不能看到第五維空間，是因為它捲曲成了一個很小的圓，這個新穎的想法打開了多維空間之先河，是第一個高維宇宙的模型，影響了之後的物理學家們建立標準模型及弦論時關於額外維度的幾何構想。

如圖5c（或圖3）所示，第五維就像是在原來4維時空中的每一點（圖5c中用平面的2維時空網格代替），加上了一個極小的圓圈，當這些圓圈的尺寸太小時，我們就觀測不到它的存在，就像在現代的紡織機器織出的某些纖維布料中，我們看不到一些非常小的圈形纖維結構一樣，但它們卻是真實存在的。物理學家計算出了卡魯扎-克萊因5維時空中圓圈的大小，只有約為10-30cm的數量級。

類似圓圈的第五維可以被理解成複數平面上的旋轉。實際上，電磁理論就是對應於複數平面上的旋轉，這是數學家外爾（Hermann Weyl，1885-1955）後來建立的電磁場與量子化電子場相互作用的規範場的關鍵模型，後來又被推廣到楊-米爾斯理論（Yang-Mills Theory）等。愛因斯坦曾經思考過卡魯扎-克萊因理論，事實上卡魯扎最原始的論文就是在他的支援和推薦下得以發表的。但愛因斯坦最終放棄了這個思想，沒有在這條路上進一步走下去。

05

維度是什麼

用上一段介紹的對5維模型的理解方式，同樣可以理解更多維數的宇宙空間。這些多餘的維度，捲曲在人們無法感覺到的微小尺度（比普朗克尺度更小）中，如圖6所示。

圖6：宇宙空間的額外維度

維數太高的空間是難以直觀想象的。如圖7所示，0維空間表示一個點，1維是直線，2維是面，3維是體積。到了4維，還可以想象成“體積”的變動，但維數大於4的空間，就不那麼直觀了。所以我們最終不能只依賴於幾何圖形，必須從理論上來深入探究：什麼是維數？額外維度的意義何在？

圖7：維數的幾何表示

簡單而言，維數是數學中獨立引數的數目。所以，維數增加是什麼意思呢？是增加了表示某個事物所需要的變數數。從這個意義上來說，我們在日常生活中其實也經常和“高維空間”打交道。例如，要記錄一個新生兒出生時的情況，僅僅4個時空數值是遠遠不夠的，除了他的出生地點、年、月、日、時刻之外，還有體重、身長、血型、心跳快慢、呼吸次數等許多資料，這些獨立引數的結合，就形成了一個多維空間，每一維都有其物理意義。

物理理論中，幾何空間維度的增加，是為了描述更多的對稱性。也就是說，是為了描述更多的物理規律，因為物理規律總是和某種對稱性聯絡在一起。例如，當年的卡魯扎試圖統一引力和電磁力而將時空增加到5維。而超弦理論（Superstring Theory）企圖統一的，除了引力和電磁力之外，還有強相互作用、弱相互作用以及構成宇宙萬物的所有基本粒子，1個額外維度顯然包容不了這麼多。為了滿足所有的對稱性要求，使得超弦中的空間額外維度增加到了6維，如圖6b所示。

在圖3中，我們眼中的電纜線是1維的，但在螞蟻的眼中，那根電纜線卻是2維的，在我們看到的1維電纜上的每一個點，螞蟻都看見一個額外的“小圈”。

同樣的道理可以用來描述弦論的世界：目前，我們只能觀測到3維空間，觀察、測量到在3維空間中活動的基本粒子。然而，如果存在普朗克尺度以下的“極小”生物的話，它們便可能感覺到9（3+6）維的空間。也就是說，在我們感覺到的3維空間的每一個點，這些小生物都感覺到一個額外的“6維小團”。話說回來，這樣的小生物不可能存在，但不妨如此想象一下，或許能幫助我們更好地理解這個額外維度。

這個“6維小空間”具有什麼樣的物理性質？數學上如何描述它？這就是我們在“這個物理理論未被實驗證實，卻已對數學產生了極大影響”中曾經提到過的、我們下一篇文章將要介紹的內容——卡拉比-丘空間。

製版編輯 | Morgan