美好的“黃金世界”
在藝術史上，人們已經寫了太多隱藏在《蒙娜麗莎的微笑》背後的秘密，但是我們同樣可以用數學的方法來解開這個謎題。請看下圖，如果在蒙娜麗莎美麗的臉龐上疊加數個黃金矩形會發生什麼：
列奧納多·達·芬奇在創作這幅偉大的作品時是否已經想到了運用黃金比例？這似乎不太可能。然而還有一種爭議較少的說法，那就是這位佛羅倫薩的天才非常重視美學和數學之間的關係。我們暫且把這個問題放到一邊來說說另一件事。盧卡·帕喬利曾寫過一本數學方面的書並將其命名為“神聖比例”（De Divina Proportione）。作為盧卡的好友，達·芬奇為該書創作了插圖。
當然，無論黃金比例存在於矩形的鄰邊還是更加複雜的幾何圖形中，它們並不是只在達·芬奇的作品中出現。後來的許多畫家都在自己的作品中運用了這一基本原理，包括後印象派畫家喬治·修拉和拉斐爾前派畫家愛德華·伯恩—瓊斯。薩爾瓦多·達利創作的《最後的晚餐》堪稱傑作，黃金比例在這幅畫中發揮了突出的作用。這幅畫的尺寸為268 釐米×167 釐米（一個近乎完美的黃金矩形），整個畫面的構圖採用了經典的正十二面體。這種幾何體為正多面體，剛好能夠放入合適的球內，與黃金比例關係密切。我們會在本書的第三章看到有關正十二面體的更多內容。
《阿涅爾的浴者》（1884），喬治·修拉繪。整幅畫布為黃金矩形。從白線圍出的區域可以看出，畫中的某些部分也呈黃金矩形。
現在讓我們把目光投向建築領域。建築或許是實用藝術的巔峰。如果黃金比例真的能夠透過各種形式營造出和諧之美，那我們就應該能在世界上最具標誌性的幾何建築中發現它。雖然過於強烈地堅持這個看法有點冒險，但是黃金比例確實出現在了許多偉大的歷史建築中，比如吉薩大金字塔或是某些著名的哥特式教堂。儘管大多數時候，黃金比例是以極其微妙的方式展現在世人面前，但我們還是能夠在許多建築中發現它。就拿舉世聞名的帕提儂神廟來說，它是菲狄亞斯的代表作，這座建築的正面就可以整齊地分解為大小不一的黃金矩形：
玫瑰的秘密
並不是只有人類才覺察到了黃金比例與美之間的聯絡，似乎大自然在挑選自己心儀的形狀時就已經賦予了黃金比例特殊的作用。為了弄清這一點，我們需要更加深入地研究黃金比例的性質。首先讓我們把一個正方形嵌入常見的黃金矩形中（正方形的邊長等於最初黃金矩形的寬），這樣就創造了一個新的黃金矩形。如果把這個過程重複數次，就會得到下面這張圖：
現在我們要在每個正方形內畫一條圓弧，讓每個圓弧的半徑等於它所在正方形的邊長。結果如下圖所示：
這條優美的曲線十分近似於我們所說的對數螺線。對數螺線不僅僅是一個奇特的數學現象，它還存在於從鸚鵡螺殼上炫目的花紋……
到星系的懸臂……
再到地球上的玫瑰花瓣中。觀賞盛放的玫瑰時，那些螺線狀的花瓣毫無疑問會給人一種優雅的感覺：
在這位花中皇后的引領下，我們將要進入另一個由黃金比例主宰的世界—植物世界。植物中存在的黃金比例不易讓人察覺，為了能清楚地描述它，我們需要引入一個全新的數學概念：斐波那契數列。13 世紀的義大利數學家斐波那契曾對這個數列做出描述。該數列的前兩項為1，後面的每一項都等於前兩項之和。斐波那契數列有無數個項，前十五項為：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610
隨著斐波那契數列項的不斷增多，後一項與前一項之比越來越逼近黃金比例，下面讓我們來驗證一下：
當這一過程重複到第 40 次，相鄰項之比越來越接近黃金比例，已經精確到了小數點後的 14 位。黃金比例與斐波那契數列之間有許多意想不到的聯絡，我們稍後會更加詳細地進行討論。總而言之，在抽象的數字世界與客觀的現實世界之間存在著某種不可思議的特殊聯絡。
下面我們透過分析另一種花的特點來看看這種聯絡有多麼特殊。這種花的外形與玫瑰有著很大的區別，它就是花盤上佈滿了籽實的向日葵。
首先我們會看到葵花籽以順時針和逆時針方向排列形成螺線。如果數一下兩個方向上的螺線，就會得到兩個再平常不過的數—21 和34—兩個此前我們已經在斐波那契數列中見過的數。
向日葵花盤的結構以斐波那契數列中的兩個相鄰項為基礎進行排列。如果數一下其他花盤上的葵花籽，就很有可能得到與此相同的兩個數或另一對斐波那契數列的相鄰項數字，其中 55 和 89 最為常見。向日葵花盤並不是唯一擁有黃金比例的植物結構，諸如此類的還有樹枝的排列、花瓣的數量，甚至有的葉片的形狀都是按照黃金比例生長。本書的第五章將會用很大的篇幅來探究數字和有機形態之間的奇妙關係。
無理數與數列，菲狄亞斯與達·芬奇，玫瑰與向日葵，所有這一切組合在一起，創造出了一個美好的“黃金世界”，而這樣一個世界似乎正是起源於那個不可思議的 φ。
數學，用更高階的方式理解這個世界。 在欣賞藝術品或自然奇觀時，很多人的心中會自然而然地產生一種美的感受。 這種美不言自明，難以名狀，直到有一天數學家發現了其中的秘密，那就是“黃金比例”。《蒙娜麗莎》、玫瑰花瓣，甚至宇宙中銀河的懸臂中，都能找到黃金比例的蹤跡。 藉助黃金比例，我們得以發現美、理解美、創造美。 數學之眼，帶您看清人類文明的過去、現在和未來。
上文節選自中信出版《黃金比例—用數學打造完美》，［遇見］已獲釋出授權。
將數學與日常生活建立連線，發現您身邊的數學。作者從細節寫起，講述黃金比例在人類發展中的影響和對現實生活的作用。